Arbeiten, die APA-konforme Literaturverzeichnisse haben sollen, lassen sich in latex mit dem Paket natbib layouten, das deutlich mehr Spaß macht als bibtex. Dazu einfach \usepackage[options]{natbib} einfügen. Als bibliography style entweder das vorhandene apalike verwenden, oder apa.bst ins Arbeitsverzeichnis runterladen, mit \bibliographystyle{apa} einbinden und nach Gutdünken anpassen, respektive am allerbesten: apa-good runterladen, in den Zeilen 384 und 530 die Kommata durch “~” ersetzen, damit bei Ausgabe der kompletten Autorinnenliste vor dem letzten kaufmännischen “und” keins mehr kommt, und fertig ist der Lack!

Die meisten Spezifikationen des herkömmlichen Rot-Schwarz-Baums (red-black tree) wirken dank ausgiebiger Fallunterscheidung ziemlich unübersichtlich. Außerdem sind die üblichen Implementierungen durch die Verwendung von Hilfsknoten (”NIL”) und Referenzierung der Mutterknoten verkompliziert. Eine komplette Implementierung der delete-Methode ist sowieso nur schwer zu finden. Auch in der ursprünglichen Veröffentlichung des Schwarz-Rot-Baums durch Sedgewick und Guibas von 1978 war der Löschvorgang nicht vollständig spezifiziert. Unter anderem deshalb hat Robert Sedgewick im letzten Jahr den linksgerichteten Rot-Schwarz-Baum (left-leaning Red-Black Tree) vorgestellt.

Im Gegensatz zu anderen binären Suchbäumen wird jedem Knoten im Rot-Schwarz-Baum eine Farbe zugewiesen, anhand derer die Balance aufrechterhalten werden kann, nämlich Schwarz oder Rot. Für die Speicherung der Farbinformation wird entweder ein zusätzliches Feld in der Knotenstruktur angelegt oder beispielsweise der Knotenzeiger manipuliert, um Speicherplatz zu sparen. Auf einen roten Knoten dürfen unmittelbar nur schwarze Knoten folgen. Von jedem Knoten enthalten alle Pfade zu den von ihm erreichbaren Blattknoten die selbe Anzahl schwarzer Knoten. Die Wurzel ist immer schwarz.

Aus diesen drei zentralen Eigenschaften folgt eine maximale Höhe von . Bei den Operationen insert und delete werden sie durch Rotationen und Farbverschiebungen aufrechterhalten.

Left-leaning red-black trees

Durchschnittliche und maximale Baumhöhe
(Durchschnitt aus 10000 zufälligen Bäumen)

Im linksgerichteten (linkslastigen) Rot-Schwarz-Baum wird nun zusätzlich vorausgesetzt, daß ein Knoten kein rechtes rotes ohne ein linkes rotes Kind haben darf. Dadurch fällt die Spiegelung der zu behandelnden Fälle von Ungleichgewicht weg, was den Code deutlich übersichtlicher macht. Die Wiederherstellung der Balance findet auf dem Rückweg der rekursiven Aufrufe von insert und delete statt. Sedgewick verspricht einen bis zu viermal kürzeren Code im Vergleich mit Implementierungen des herkömmlichen Rot-Schwarz-Baumes.

Ich habe die Implementierung von Sedgewick abgeschrieben und halbwegs gemäß Spezifikation vervollständigt. Weil die Implementation hauptsächlich zur Veranschaulichung dient, enthalten die Knoten lediglich ihren Schlüssel. Dafür speichert der Baum die Anzahl seiner Elemente (size) und kann seine Höhe ermitteln (height()). Beim Testen von insert überschritt Java nach dem Einfügen von ca. 7,5 Millionen Elementen seinen Heap Space und brach ab.

Einfügen des Elements 310

Einfügen (insert)

Auf der Suche nach dem Blatt, hinter dem der neue Knoten angehängt wird, wird nach Knoten mit zwei roten Kindern Ausschau gehalten. Die Kinder werden in diesem Fall schwarz, die Mutter rot eingefärbt. Dadurch wird verhindert, daß der neu angefügte Knoten (immer rot) sowohl eine rote Mutter als auch eine rote Tante hat. Dieser Fall könnte mit den vorgesehenen Mitteln nicht behoben werden.

Ergibt sich jedoch nach dem Anfügen der Fall zweier aufeinanderfolgender roter Knoten, kann dies durch eine Rechtsrotation um die Großmutter des angefügten Knotens geklärt werden. Daß es wirklich nur eine Rechtsrotation braucht, wird dadurch gewährleistet daß einzelne rote Kinder durch Linksrotation immer zu linken Kindern gemacht werden. Diese beiden Maßnahmen werden auf dem Rückweg der Rekursion in der Methode fixUp() ergriffen.

Löschen (delete)

Auf der rekursiven Suche nach dem zu löschenden Knoten schiebt der Algorithmus rote Knoten vor sich her, damit zum Schluß einfach ein rotes Blatt abgesägt werden kann, wodurch die Baumeigenschaften nicht verletzt werden. Die ensprechende Invariante für den Weg abwärts erfordert, daß entweder der aktuelle Knoten oder je nach Suchrichtung das linke oder rechte Kind rot ist. Um dies aufrechtzuerhalten werden die Hilfsfunktionen moveRedLeft() und moveRedRight() verwendet, die einen roten Knoten aus einem Unterbaum in den anderen verschieben oder zur Not erzeugen. Verletzungen der Linkslastigkeit durch vorangegangene Rechtsrotationen etc. werden wie beim Einfügen auf dem Rückweg der Rekursion mit fixUp() behoben.

Auswuchern nach dem Löschen des Schlüssels “0″

Das Löschen eines inneren Knotens n findet mittels Ersetzen des Knoteninhalts von n mit dem des kleinsten Nachkommens im rechten Unterbaum von n statt. Damit wird also der gelöschte Knoten mit dem lexikalisch nächstgrößeren Schlüssel überschrieben. Dazu dient die Methode deleteMin(). Aufgrund der immanenten Linkslastigkeit ist das Minimum eines (Unter-)Baums immer ein Blattknoten. Auch hier wird die erwähnte Invariante mitgenommen, so daß der ensprechende Blattknoten gelöscht werden kann, ohne daß nach Durchführung des fixup die Baumeigenschaften verletzt wären.

Ein Nachteil dieses Verfahrens ist, daß komplett schwarze Pfade auf ihre doppelte Länge anwachsen können. Damit tritt der worst case von einer Baumhöhe nahe nach wiederholten Löschvorgängen offenbar relativ häufig ein. Damit ist der Baum natürlich trotzdem noch balanciert und alle Operationen haben weiterhin eine garantierte Laufzeit in .

Desweiteren schlägt sich die Übersichtlichkeit und Anschaulichkeit der Implementierung des linksgerichteten Rot-Schwarz-Baums besonders in der Methode delete nieder. Statt seitenweiser Fallunterscheidungen samt deren Spiegelung, wie beim symmetrischen Rot-Schwarz-Baum, braucht es für die left leaning version lediglich eine überschaubare Erweiterung des rekursiven Codes für den unbalancierten binären Suchbaum und ein paar kurze Hilfsfunktionen. Es ist weder die Speicherung der Knotentiefe noch die des Mutterknotens in der Knotenklasse notwendig.

Anzahl von Balanceoperationen beim Einfügen bzw. Löschen
(Durchschnitt bei 10000 Bäumen)

Eigenschaften

Aus den Eigenschaften des left-leaning red-black tree folgt eine maximale Höhe von . So viel kostet also ein Suchvorgang im worst case. Es zeigt sich, daß die durchschnittliche Höhe eines Baumes von beliebiger Größe bei ungefähr liegt. Gnuplot ermittelt einen Faktor von ~ 1,95 für die durchschnittliche Höhe von Bäumen mit 1 bis 50000 zufälligen Elementen. Die durchschnittliche Dauer eines erfolgreichen Suchvorgangs liegt laut Sedgewick bei . Weitere Beobachtungen über Zuwachs roter Knoten, relativer Größe linker Unterbäume usw. finden sich im paper.

• LLRB.java
• Ausführliches Vortragsscript Sedgewicks
• Implementierung in C

Streng und schön liegt sie da, diese fraktal dahingeklüftete zärtlich liebevolle, verheißungsvolle Berglandschaft, ein Megabyte groß, dunkelbraun, selbstähnlich, rekursiv ausgerechnet, Höhenwerte in 2-Byte-Fließkommazahlen, bla. Was aber macht man jetzt damit? Einöde drüberspannen? Biotop für schreiben? Weiß auch nicht.. War halt mal wieder Zeit für ein bißchen Automatenmalerei!!!
Hier noch mehr Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5

Wir freuen uns, gleich mehrere Ausführungen eines ersten brauchbaren Wolkengenerators präsentieren zu dürfen. Dieser soll uns einst die Unabhängigkeit von meteoroloschen Zwängen schenken, denen der moderne Mensch nach unseren Vorstellungen längst nicht mehr ausgesetzt sein muß. Mit einem unbegrenzten Fundus an stets frischem Wolken-Werk soll sich die Menschheit nicht mehr Ihrer Unvollkommenheit schämen und jeder wolkenlose Sommertag wird zittern vor der Macht des Banausenrepublik Wolkengenerators.

• Galerie des gierenden Gestrüpps

Chique: Ein bisher ungezähmtes Gestrüpp läßt sich dazu bewegen, einer vorgegebenen Form zu folgen und auf diese Weise ausgesprochen kitschige Motive zu erzeugen. In diesem Beispiel, um den Kitschfaktor noch zu erhöhen, rankt sich das gruftige Gemüse um einen diskret angedeuteten Totenkopf. Anzusehen und zu generieren in der Galerie.

Histrionisch akzentuierte Obstbäume harren eingehender Beschäftigung mit ihnen in der zuständgen Galerie.

Wir freuen uns, im Rahmen unserer extrem populistischen Kampagne “Fraktale Wälder für das Volk” erste nennenswerte Fortschritte präsentieren zu können.

Eines Tages, so das hochgestreckte Ziel, soll jeder Bürger, der bereit ist, nach den Vorstellungen unserer führenden Ideologen zu leben, über seinen eigenen fraktalen Wald verfügen, den er sich gegen Spende hochaufgelöst bei uns runterladen kann. Dann bräuchte man endlich auch Brandenburg und Niedersachsen nicht mehr. Die Abschaffung dieser unangenehmen Testgebiete für Inzest und Degenaration bleibt auf der Agenda. Zur Indoktrination der als zu gehirnwaschenden jungen kreativen Web2.0-Kunstfaschisten präsentieren wir unsere Ergebnisse in aktuell angesagtem mittetauglichen iPod-Indie-Schnörkel-Look.

Nachtrag: Anseh- und abrufbar nun auch innerhalb der eigens eingerichteten Banausenrepublik Gewuchergalerie.

Schlecht programmiert, schön anzusehen…

Noch immer vom Simulatenwahn besessen, schreiben degenerierende Madenmenschen an nicht mehr nur künstlichen Landschaften, sondern schon an ganzen artifiziellen Ökosystemen. Sogar mit Moboperator! Weil der noch feinabgestimmt werden will, darf ich bezüglich weiterer News auf frühestens nächste Woche vertrösten.

Es gibt nun eine halbwegs brauchbare Oberfläche des heißersehnten und vielbeachteten Einödengenerators aka Renderreich-Editors. Es gibt noch Schwierigkeiten mit der Aktualisierung der gespeicherten Grafiken und ein paar optische Fehler, die wir natürlich voll im Griff haben. Aber so was von.

Bis dahin muß man öfters mal von Hand aktualisieren, damit die aktuellen Bilder in den Browser geschaufelt werden. Besonders bei Opera (der Schlampe).

Wir sind sehr stolz, mit diesem schlecht programmierten Machwerk einen großen Schritt weitergekommen zu sein auf unserem bekannten und in letzter Zeit nicht mehr mit der angeratenen Skrupellosigkeit verfolgten Weg. Es gibt ja schließlich nun schon ein quasi unbegrenztes Arsenal an schick aussehenden Bildern von Wüsten.

Geplant ist die Möglichkeit die Bildmaße anzugeben und vielleicht die Textur zu stellen. Außerdem werd ich die Beleuchtung entkanten. Eventuell kann man mit dem LOD-Algorithmus noch was machen (ok: Namedropping..) und echten Schattenwurf auf die Textur zu rendern wär auch nicht uncool.

Solange hat man die Möglichkeit, sich immer wieder neue Karten erzeugen zu lassen. Suckers!